Question

從自然數(shù)1-12中選取7個不同的數(shù)字，使其和是3的倍數(shù)，請問有

 

種不同的選法．

Answer 1

考點：排列組合

專題：可能性

分析：1--12這12個數(shù)的和是（1+12）×12÷2=78，是3的倍數(shù)，所以將其中任意大于等于3的數(shù)減去3或6或9或12，和仍然是3的倍數(shù)，所以這12個數(shù)也可以表示為0、1、2、0、1、2、0、1、2、0、1、2，選取7個不同的數(shù)字，和是3的倍數(shù)，那剩下的5個數(shù)字也是3的倍數(shù)，符合題意的有：2+2+2+2+1=9，2+2+2+0+0=6，2+2+1+1+0=6，2+1+1+1+1=6，2+1+0+0+0=3，1+1+1+0+0+0=3共6種情況，然后求出每種情況中能組合成的種數(shù)，再相加即可解答．

解答： 解：根據(jù)分析可知：
（1）2+2+2+2+1=9，從4個能寫成2的數(shù)中任選四個，只有一種可能，從4個能寫成1的數(shù)中任選1個有4種可能，所以有4種不同的選法；
（2）2+2+2+0+0=6，從4個能寫成2的數(shù)中任選3個，即去掉1個，有4種可能，從4個能寫成0的數(shù)中任選2個有6種可能，所以有4×6=24種不同的選法；
（3）2+2+1+1+0=6，從4個能寫成2的數(shù)中任選2個，有6種可能，從4個能寫成1的數(shù)中任選2個有6種可能，從4個能寫成0的數(shù)中任選1個，有4種可能，所以有6×6×4=144種不同的選法；
（4）2+1+1+1+1=6，從4個能寫成2的數(shù)中任選1個，有4種可能，從4個能寫成1的數(shù)中選4個有1種可能，所以有4種不同的選法；
（5）2+1+0+0+0=3，從4個能寫成2的數(shù)中任選1個，有4種可能，從4個能寫成1的數(shù)中任選1個有4種可能，從4個能寫成0的數(shù)中任選3個有4種可能，所以有4×4×3=48種不同的選法；
（6）1+1+1+0+0=3，從4個能寫成1的數(shù)中任選3個，有4種可能，從4個能寫成0的數(shù)中任選2個有6種可能，所以有4×6=24種不同的選法；
共有4+24+144+4+48+24=240種不同的選法．
故答案為：248．

點評：本題主要考查組合問題，解題關(guān)鍵是理解3的倍數(shù)減去3仍然是3的倍數(shù)，寫成最簡單的形式，寫出所有的可能性，注意要按照一定的順序，做到不重不漏．