Question

一條直線上放著一個(gè)長(zhǎng)方形①，它的長(zhǎng)與寬分別等于3厘米和4厘米，對(duì)角線恰好是5厘米．讓這個(gè)長(zhǎng)方形繞一個(gè)頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后到了長(zhǎng)方形②的位置，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)C的位置．如此連續(xù)做四次后，點(diǎn)A到了點(diǎn)G的位置．求點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的總路程的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：如下圖所示，第一次旋轉(zhuǎn)圖形由①到②，點(diǎn)A是旋轉(zhuǎn)中心，因此旋轉(zhuǎn)后的位置A₁就是它本身，位置沒(méi)變，所以走過(guò)的路程為0；
第二次旋轉(zhuǎn)圖形由②到③，點(diǎn)A由點(diǎn)A₁到了點(diǎn)A₂，所經(jīng)過(guò)的路徑是半徑為3厘米的圓周長(zhǎng)的

1

4

；
第三次旋轉(zhuǎn)圖形由③到④，點(diǎn)A由點(diǎn)A₂到了點(diǎn)A₃，所經(jīng)過(guò)的路徑是半徑為5厘米的圓周長(zhǎng)的

1

4

；
第四次旋轉(zhuǎn)圖形由④到⑤，點(diǎn)A由點(diǎn)A₃到點(diǎn)G，所經(jīng)過(guò)的路徑是半徑為4厘米的圓周長(zhǎng)的

1

4

；
最后把這四個(gè)長(zhǎng)度加起來(lái)，就是A點(diǎn)到G點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的總路程．

解答：解：由分析可知，A點(diǎn)到G點(diǎn)所走過(guò)的總路程的長(zhǎng)為：0+2π×3×

1

4

+2π×5×

1

4

+2π×4×

1

4

=

3

2

π+

5

2

π+2π
=6π
=18.84 （厘米）；
答：點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的總路程的長(zhǎng)是18.84厘米．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的周長(zhǎng)的求法，解題的關(guān)鍵是能正確判斷每一次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路徑．