Question

分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有______個(gè)；它們的和是______．

Answer 1

因385=5×7×11，在1至385中，5的倍數(shù)有

385

5

=77（個(gè)）；
7的倍數(shù)有

385

7

=55（個(gè)）；
11的倍數(shù)有

385

11

=35（個(gè)）；
35（5×7）的倍數(shù)有

385

5×7

=11（個(gè)）；
55（5×11）的倍數(shù)有

385

5×11

=7（個(gè)）；
77（7×11）的倍數(shù)有

385

7×11

=5（個(gè)）；
385的倍數(shù)有1個(gè)．
由容斥原理知，是5或7或11的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：
77+55+35-11-7-5+1=145（個(gè)）．
故與5，7，11都互質(zhì)的數(shù)有385-145=240（個(gè)），即以385為分母的真分?jǐn)?shù)中，最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有240個(gè)．
因當(dāng)

a

385

是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，

385-a

385

也是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)且其和為1，即最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，且每對(duì)兩數(shù)之和為1．從而240個(gè)最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)可分成120對(duì)，其和為120．
故答案為：240，120．