Question

如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)都是格點(diǎn)），點(diǎn)B的位置表示為（10，2），點(diǎn)C的位置表示為（10，5），將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△AB₁C₁．
（1）在正方形網(wǎng)格中，作出△AB₁C₁，并用有序數(shù)對表示出B1、C1的位置；
（2）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B1所經(jīng)過的路線長；
（3）設(shè)網(wǎng)格小正方形的邊長為1cm，用陰影表示出旋轉(zhuǎn)過程中線段BC所掃過的圖形，然后求出它的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）讓三角形的頂點(diǎn)B、C都繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接即可；再根據(jù)數(shù)對表示數(shù)的方法：第一個數(shù)表示列，第二個數(shù)表示行，寫出B1、C1的位置即可．
（2）旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B所經(jīng)過的路線是一段弧，根據(jù)弧長公式計算即可．
（3）陰影部分的面積等于扇形ACC₁與△ABC的面積和減去扇形ABB₁與△AB₁C₁，而△ABC與△AB₁C₁的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形ACC₁減去扇形ABB₁的面積．

解答：解：（1）如圖所示：

三角形AB1C1即為所求，B1的位置為：（6，6）；C1的位置為：（3，6）；

（2）從圖中可看出這段弧的圓心角是90°，因為是直角三角形，由勾股定理得：AC=

9+16

=5，
所以點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B1所經(jīng)過的路線長為：

90π×5

180

=

5π

2

；
答：點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B1所經(jīng)過的路線長

5

2

π．

（3）如圖所示：
，
黃色陰影部分即為旋轉(zhuǎn)過程中線段BC所掃過的圖形，
線段BC所掃過的圖形如圖所示．
根據(jù)網(wǎng)格圖知：AB=4，BC=3，所以AC=5，
陰影部分的面積等于扇形ACC₁與△ABC的面積和減去扇形ABB₁與△AB₁C₁，
故陰影部分的面積等于扇形ACC₁減去扇形ABB₁的面積，兩個扇形的圓心都是90度．
段BC所掃過的圖形的面積S=

1

4

π（AC²-AB²）=

1

4

π×（5²-4²）=

9

4

π．
答：旋轉(zhuǎn)過程中線段BC所掃過的圖形的面積是

9

4

π．

點(diǎn)評：（1）解決本題的關(guān)鍵是找出關(guān)鍵點(diǎn)．
（2）（3）本題利用了勾股定理，弧長公式、圓的面積公式求解．