Question

王老師在黑板上寫了若干個(gè)從1開始的連續(xù)自然數(shù)：1，2，3，4，…，然后擦去三個(gè)數(shù)（其中有兩個(gè)質(zhì)數(shù)），如果剩下的數(shù)的平均數(shù)是19

8

9

，那么王老師在黑板上共寫了

39

個(gè)數(shù)，擦去的兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和最大是

60

．

Answer 1

分析：因在連續(xù)自然數(shù)中，平均數(shù)約等于中位數(shù)，由剩下的數(shù)的平均數(shù)是19

8

9

，即得最大的數(shù)約為20×2=40個(gè)，又知分母是9，所以剩下的數(shù)的個(gè)數(shù)必含因數(shù)9，則推得剩余36個(gè)數(shù)．
原寫下了1到39這39個(gè)數(shù)；剩余36個(gè)數(shù)的和是19

8

9

×36=716，39個(gè)數(shù)的總和，根據(jù)高斯求和=（1+39）×39÷2=780，再用39個(gè)數(shù)的和減去36個(gè)數(shù)的和，就是擦去的三個(gè)數(shù)總和：780-716=64=奇+奇+偶，再根據(jù)40以內(nèi)質(zhì)數(shù)，推出兩個(gè)質(zhì)數(shù)最大的和．

解答：解：由剩下的數(shù)的平均數(shù)是19

8

9

，
即得最大的數(shù)約為20×2=40個(gè)，
又知分母是9，所以剩下的數(shù)的個(gè)數(shù)必含因數(shù)9，則推得剩余36個(gè)數(shù)．
原寫下了1到39這39個(gè)數(shù)；
剩余36個(gè)數(shù)的和：19

8

9

×36=716，
39個(gè)數(shù)的總和：（1+39）×39÷2=780，
擦去的三個(gè)數(shù)總和：780-716=64，
根據(jù)題意，推得擦去的三個(gè)數(shù)中有一個(gè)合數(shù)，最小是4，
那么兩個(gè)質(zhì)數(shù)和60=29+31=23+37 能夠成立，
綜上，擦去的兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和最大是60．
故答案為：39，60．

點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是明白連續(xù)自然數(shù)的中位數(shù)與平均數(shù)很接近，再根據(jù)高斯求和方法及平均數(shù)分母可知自然數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出全部數(shù)的總和及去掉3個(gè)數(shù)的總和，即可求出去掉這3個(gè)數(shù)的和再根據(jù)要求即可解決．