Question

已知一個數(shù)是完全平方數(shù)，并且前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同，這四位數(shù)是

7744

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，這個四位數(shù)可以表示成：a×1000+a×100+b×10+b=11×（a×100+b），因為a×100+b必須被11整除，所以a+b=11，代入上式得：11×（a×100+b）=11×11×（9a+1）．
只要9a+1是完全平方數(shù)就行了，由a=2、3、4、5、6、7、8、9驗證，得a=7一個解，則b=4．進而求出這個四位數(shù)．

解答：解：四位數(shù)可以表示成：
a×1000+a×100+b×10+b，
=a×1100+b×11，
=11×（a×100+b）；

因為a×100+b必須被11整除，所以a+b=11，代入上式得：
四位數(shù)=11×[a×100+（11-a）]，
=11×（a×99+11），
=11×11×（9a+1）；

只要9a+1是完全平方數(shù)就行了．
由a=2、3、4、5、6、7、8、9驗證得，
9a+1=19、28、27、46、55、64、73．
所以只有a=7一個解，則b=4．
因此四位數(shù)是7744=11²×8²=88×88．
故答案為：7744．

點評：此題先設出這個四位數(shù)為a×1000+a×100+b×10+b，然后根據(jù)其特征，求出a的值，進而推出b的值，也就求出了這個四位數(shù)，解決問題．