Question

【題目】（4分）包含0至9這10個(gè)數(shù)字的十位數(shù)稱為“十全數(shù)”．求滿足以下條件的所有的十全數(shù)：

①它的千位是7；

②從左往右數(shù)，它的第一位能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)能被2整除，前三位組成的三位數(shù)能被3整除…前十位組成的十位數(shù)能被10整除．

Answer 1

【答案】3816547290．

【解析】

試題分析：設(shè)這個(gè)數(shù)從左到右分別為ABCDEFGHIJ，其中G=7，顯然J=0．能被5整除說(shuō)明E=5；

由題意容易看出B，D，F(xiàn)，H都是偶數(shù)；

前八位能被8整除說(shuō)明FGH能被8整除，而F是偶數(shù)，說(shuō)明GH能被8整除，而G=7，說(shuō)明H=2；

前三位能被3整除，前六位能被6整除，說(shuō)明DEF能被3整除；

E=5，D，F(xiàn)為偶數(shù)，說(shuō)明D，F(xiàn)一個(gè)為4，一個(gè)為6．

這樣B=8，而且前四位能被4整除也就是CD能被4整除，C是奇數(shù)，說(shuō)明D=6，從而F=4；進(jìn)而推出ABC與DEF的值．

解：設(shè)這個(gè)數(shù)從左到右分別為ABCDEFGHIJ，

其中G=7，顯然J=0．

能被5整除說(shuō)明E=5．

比較容易看出B，D，F(xiàn)，H都是偶數(shù)．

前八位能被8整除說(shuō)明FGH能被8整除，而F是偶數(shù)，說(shuō)明GH能被8整除，而G=7，說(shuō)明H=2．

前三位能被3整除，前六位能被6整除，說(shuō)明DEF能被3整除．

E=5，D，F(xiàn)為偶數(shù)，說(shuō)明D，F(xiàn)一個(gè)為4，一個(gè)為6．

這樣B=8，而且前四位能被4整除也就是CD能被4整除，C是奇數(shù)，說(shuō)明D=6，從而F=4．

前三位能被3整除，B=8，說(shuō)明A，C必然有一個(gè)是1，另外一個(gè)是9，或者3．這樣ABC有四種可能，381，183，981，189．

前七位是7的倍數(shù)而G=7，說(shuō)明前六位能被7整除，也就是ABC與DEF的差能被7整除，也就是除以7的余數(shù)相同；

654除以7余3，前面四個(gè)數(shù)只有381除以7余數(shù)是3．

于是得到這個(gè)數(shù)為3816547290．