Question

把質數373按數位拆開（不改變各數之間的順序），只能得到3、7、37、73這四個數，它們仍然都是質數，請找出所有具有這種性質的質數．

Answer 1

考點：質數與合數問題

專題：數的整除

分析：從表面上看，這樣的素數要從眾多大小不一的素數里找出來，是件十分困難的事，其實只要使用“排除法”即可簡便地求出．
 首先，我們去掉不可能采用的數字．
 1．在各個數位上都不能采用數字1、4、6、8、9，否則，拆成一位數時，
可能出現上述四個數，都不是素數．
 2．除首位外，各數位上不能有數字2和5．否則，將可能與它前一位或前幾位數組成大于2的偶數或能被5整除的數．由此看來，可采用的數字只有2、5、3、7．其中2和5只能出現在首位上，且每個數字不可能連續(xù)出現在相鄰數位上（如233肯定不行）．這樣一來，需要檢查的數的范圍就小多了．據此分兩種情況來進行析討論可．

解答： 解：從表面上看，這樣的素數要從眾多大小不一的素數里找出來，是件十分困難的事，其實只要使用“排除法”即可簡便地求出．
 首先，我們去掉不可能采用的數字．
 1．在各個數位上都不能采用數字1、4、6、8、9，否則，拆成一位數時，
可能出現上述四個數，都不是素數．
 2．除首位外，各數位上不能有數字2和5．否則，將可能與它前一位或前幾位數組成大于2的偶數或能被5整除的數．由此看來，可采用的數字只有2、5、3、7．其中2和5只能出現在首位上，且每個數字不可能連續(xù)出現在相鄰數位上（如233肯定不行）．這樣一來，需要檢查的數的范圍就小多了．據此分兩種情況來進行析討論可． 
1．不超過三位數時所有可能滿足條件的數共有12個，它們是23、27、237、273，37、373，53、57、537、573，73、737．．在這12個數中經驗證，除了是3或11的倍數外，只有23、37、53、73、373
這五個數是素數且滿足題目要求．
 2．當組成的數大于三位數時，以四位數為例（大于四位數時同理）．若首位上是2或5，則有2373、5373、2737、5737這四種數．而2737和5737由于737不是素數被排除，2373和5373各數位上數字之和為3的倍數，即能被3整除，排除．若首位上不出現2或5，則可供選用的數字只有3和7，所組成的數也只有3773、7337（某數字在相鄰數位上出現）和3737、7373（兩數字間隔出現）這兩類數．而這兩類數顯然不符合可拆素數的要求，應排除在外．
所以，四位和四位以上的可拆素數是沒有的．因此，可拆素數一共只有23、37、53、73、373這五個數．

點評：完成本題要細心，根據質數的性質及數的整除特征通過排除法認真分析完成．