Question

某資料室在計算機使用中（如右圖所示），編碼以一定規(guī)則排列，且從左至右以及從上到下都是無限的．此表中，主對角線上數(shù)列1，2，5，10，17，…的第12項的值是

122

；編碼100共出現(xiàn)

6

次．

Answer 1

分析：（1）觀察主對角線上述列每一項都是前幾項的和，可發(fā)現(xiàn)a_n=（n-1）²+1，將各項代入驗證，可得遞推式．
（2）觀察可得，第一列自然數(shù)，所以會出現(xiàn)100，第二個是單數(shù)，不會出現(xiàn)100，第三個觀察可知a_n=a_n-1+3，則a_n=a₁+3（n-1）=3n-2可出現(xiàn)100，而后面的公差分別為4，5，6等等．因此不可能出現(xiàn)100．而橫列會出現(xiàn)3次，總共會出現(xiàn)6次．

解答：解：（1）觀察主對角線上述列每一項都是前幾項的和，可發(fā)現(xiàn)a_n=（n-1）²+1，
當n=12時，（12-1）²+1=121+1=122，

（2）由編碼可得，第m行是首項為1，公差為m-1的等差數(shù)列，
則第m行的第n個數(shù)為1+（n-1）（m-1），令m=n，
則有a_n=1+（n-1）（n-1）=n²-2n+2，n∈N^*，
第一列自然數(shù)，所以會出現(xiàn)100，第二個是單數(shù)，不會出現(xiàn)100，
第三個公差為3，計算公式為a_n=3（n-1）-1，故可以出現(xiàn)100．
故答案為：122；6．

點評：此題主要考查數(shù)列遞推式的求解與計算．