Question

老師告訴貝貝和晶晶一個小于5000的四位數(shù)，這個四位數(shù)是5的倍數(shù)．貝貝計算出它與5！的最小公倍數(shù)，晶晶計算出它與10！的最大公約數(shù)，結果發(fā)現(xiàn)貝貝的計算結果恰好是晶晶的5倍．錆問：這個四位數(shù)是多少？

Answer 1

考點：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：因為5！=5×4×3×2×1=2³×3×5，10！=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=2⁸×3⁴×5²×7，所以所求的四位數(shù)必須滿足：因數(shù)2的個數(shù)是3～8個，因數(shù)3的個數(shù)是1～4個，因數(shù)7的個數(shù)是0或1個，又因為這個四位數(shù)是5的倍數(shù)，所以要么1個因數(shù)5也沒有，要么含有3個因數(shù)5；然后分類討論，求出滿足條件的四位數(shù)有哪些即可．

解答： 解：5！=5×4×3×2×1=2³×3×5，10！=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=2⁸×3⁴×5²×7，
所求的四位數(shù)必須滿足：因數(shù)2的個數(shù)是3～8個，因數(shù)3的個數(shù)是1～4個，因數(shù)7的個數(shù)是0或1個，
因為這個四位數(shù)是5的倍數(shù)，
所以要么1個因數(shù)5也沒有，要么含有3個因數(shù)5；
通過分析，滿足條件的四位數(shù)有：
（1）因數(shù)5的個數(shù)是3個的四位數(shù)有1個：2³×3×5³=3000；

（2）不含因數(shù)5，含有因數(shù)7的四位數(shù)有：
7×3⁴×2³=4536；7×3³×2³=1512；7×3³×2⁴=3024；7×3²×2⁴=1008；
7×3²×2⁵=2016；7×3²×2⁶=4032；7×3×2⁶=1344；7×3×2⁷=2688；

（3）不含因數(shù)5，不含因數(shù)7的四位數(shù)有：
3⁴×2⁴=1296；3⁴×2⁵=2592；3³×2⁶=1728；3³×2⁷=3456；
3²×2⁷=1152；3²×2⁸=2304．
所以這樣的四位數(shù)有15個：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．
答：這樣的四位數(shù)有15個：3000、4536、1512、3024、1008、2016、4032、1344、2688、1296、2592、1728、3456、1152、2304．

點評：此題主要考查了約數(shù)和倍數(shù)問題的應用，解答此題的關鍵是判斷出：所求的四位數(shù)中因數(shù)2的個數(shù)是3～8個，因數(shù)3的個數(shù)是1～4個，因數(shù)7的個數(shù)是0或1個，因數(shù)5的個數(shù)是0或3個．