Question

在平面上有一個27×27的方格棋盤，在棋盤的正中間擺好81枚棋子，它們被罷成一個9×9的正方形．按下面的規(guī)則進(jìn)行游戲：每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過的這格棋子取出來．問：是否存在一種走法，使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子？

Answer 1

分析：分析游戲規(guī)則“每一枚棋子都可沿水平方向或豎直方向越過相鄰的棋子，放進(jìn)緊挨著這枚棋子的空格中，并把越過的這格棋子取出來”，可知：每走一步，走動棋子格、與它相鄰被取出的棋子格、落子的空格，這三個格內(nèi)棋子的狀態(tài)，有或無，同時發(fā)生變化．因此可將整個棋盤按水平和豎直方向用三種顏色染色，開始時，“棋盤的正中間擺好81枚棋子，它們被擺成一個9×9的正方形”，知三種顏色格子中棋子數(shù)是相同的（9÷9÷3=27），棋子數(shù)的奇偶性相同．由于每走一步，三種顏色格子里棋子數(shù)的奇偶性同時改變，因此三種顏色棋子數(shù)的奇偶性始終相同．要使“棋盤上最后恰好剩下一枚棋子”，三種顏色的格子里棋子數(shù)2種顏色為0，1種顏色為1，兩偶一奇，按上述走法顯然是不可能的．所以，不存在這樣一種走法，
使棋盤上最后恰好剩下一枚棋子．

解答：解：如圖，將整個棋盤的每一格都分別染上紅、白、黑三種顏色，這種染色方式將棋盤分成了三個部分．

按照游戲規(guī)則，每走一步，有兩種顏色方格中的棋子數(shù)分別減少了1個，而第三種顏色的棋子數(shù)增加了一個．
這表明每走一步，每個部分的棋子的奇偶性要發(fā)生改變．
 因為一開始時，81枚棋子擺成一個9×9的正方形，顯然三個部分的棋子數(shù)是相同的，從而每走一步，三部分中的棋子數(shù)的奇偶性是相同的．
如果走了若干步以后，棋盤上恰好剩下一枚棋子，則兩部分上的棋子數(shù)為偶數(shù)，而另一部分上的棋子數(shù)為奇數(shù)．
所以這種結(jié)果是不可能出現(xiàn)的．

點評：本題為一個典型的染色問題，通過將圖形染色，能比較直觀的將題中要素體現(xiàn)出來，從而有助于問題的解答．