Question

德國數(shù)學(xué)康托爾構(gòu)造的這個圖形叫分形，稱做康托爾集．從長度為1的線段開始，康托爾取走其中間三分之一而達(dá)到第一階段；然后從每一個余下的三分之一線段中取走其中間三分之一而達(dá)到第二階段．無限量地重復(fù)這一過程，余下的無窮點集就稱做康托爾集．圖中是康托爾集的最初幾個階段，當(dāng)達(dá)到第六個階段時，余下的所有線段的長度之和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：易得第一次操作后余下的線段為1-

1

3

，進(jìn)而得到每次操作后有幾個1-

1

3

的積，即可得到第六次操作時，余下的所有線段的長度之和．

解答： 解：第一次操作后余下的線段之和為1-

1

3

，
第二次操作后余下的線段之和為（1-

1

3

）²，
…
第六次操作后余下的線段之和為（1-

1

3

）⁶=

64

729

，
故答案為：

64

729

．

點評：考查圖形的變化規(guī)律；得到第n次操作后有n個

2

3

是解決本題的關(guān)鍵．