Question

重排任意一個(gè)三位數(shù)的3個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，至多得到6個(gè)三位數(shù)（允許百位數(shù)字為0），其中有一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，它們的差構(gòu)成另一個(gè)三位數(shù)（允許百位數(shù)字為0）．
例如：3位數(shù)990，重排后得到990和099，差為891；再重排，得到981和189，差為792；…．重復(fù)2005次后，得到的所有數(shù)為

 

．

Answer 1

分析：分兩種情況討論；
（1）若三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字全相同，所得數(shù)為0；
（2）若三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不完全相同，
不妨設(shè)這個(gè)三位數(shù)為 abc，a≥b≥c，且a≥c+1，
所以 abc-cba=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位數(shù)中必有一個(gè)9，而另外兩個(gè)數(shù)字之和為9；
共有990，981，972，963，954五種情況，然后從中選一種情況進(jìn)行探討，得出結(jié)論．

解答：解：分兩種情況討論；
（1）若三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字全相同，所得數(shù)為0；
（2）若三個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不完全相同，
不妨設(shè)這個(gè)三位數(shù)為 abc，a≥b≥c，且a≥c+1，
所以 abc-cba=99（a-c）=100（a-c-1）+10×9+（10+c-a），
因此所得的三位數(shù)中必有一個(gè)9，而另外兩個(gè)數(shù)字之和為9；
共有990，981，972，963，954五種情況；
以990為例得，990-099=891，
981-189=792，
972-279=693，
963-369=594，
954-459=495，
…
由此可知最后得到495數(shù)就會(huì)循環(huán)，重復(fù)多次后所得的數(shù)是495．

點(diǎn)評：分情況探討，是解決本題的關(guān)鍵．