Question

13．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，如下圖所示的三角形數(shù)表，第一個(gè)三角形數(shù)表中有1個(gè)點(diǎn)，第二個(gè)三角形數(shù)表有3個(gè)點(diǎn)，第三個(gè)三角形數(shù)表有6個(gè)點(diǎn)，…將1、3、6、10…記為“三角形數(shù)”，那么第30個(gè)“三角形數(shù)”和和第28個(gè)“三角形數(shù)”的差是59．

Answer 1

分析 設(shè)此數(shù)列1，3，6，10，…的通項(xiàng)公式為a_n，可得a₂-a₁=3-1=2，a₃-a₂=6-3=3，a₄-a₃=10-6=4，…，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n+1-a_n=2+（n-1）=n+1，再利用“累加求和”即可得出a_n，分別求出第30個(gè)“三角形數(shù)”與第28個(gè)“三角形數(shù)”是多少，再相減即可．

解答 解：設(shè)此數(shù)列1，3，6，10，…的通項(xiàng)公式為a_n，
則a₂-a₁=3-1=2，a₃-a₂=6-3=3，a₄-a₃=10-6=4，…．
所以數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1．
所以a_n+1-a_n=2+（n-1）=n+1，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
所以第30個(gè)“三角形數(shù)”為$\frac{30×（30+1）}{2}$=465，
第28個(gè)“三角形數(shù)”為$\frac{28×（28+1）}{2}$=406，
465-406=59．
故答案為：59．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和“累加求和”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．