Question

求l-2001的所有自然數(shù)中，有多少個(gè)整數(shù)x使2^x與x²被7除余數(shù)相同？

Answer 1

分析：分別求出x是自然數(shù)時(shí)，2^x÷7與x²÷7的余數(shù)與x的關(guān)系：找出它們余數(shù)循環(huán)的規(guī)律再進(jìn)行解答．

解答：解：首先看2^x÷7的余數(shù)、x²÷7的余數(shù)與x的關(guān)系：

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
2x÷7的余數(shù)	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1
x2÷7的余數(shù)	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0

可見(jiàn)，2^x÷7的余數(shù)3個(gè)一循環(huán)，x²÷7的余數(shù)7個(gè)一循環(huán)，所以，3和7的最小公倍數(shù)為21，2001÷21=95…6，每21個(gè)數(shù)中，余數(shù)相同的有6個(gè)，前6個(gè)中余數(shù)相同的有4個(gè)，所以，共有95×6+4=574（個(gè)）．
答：有574個(gè)整數(shù)x使2^x與x²被7除余數(shù)相同．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是找出余數(shù)循環(huán)的規(guī)律，再進(jìn)行解答．