Question

四個人聚會，每人各帶了2件禮品，分贈給其余三個人中的二人，試證明：至少有兩對人，每對人是互贈過禮品的．設(shè)此四人為甲、乙、丙、丁并用畫在平面上的四個點分別表示他們，稱為它們的代表點，當(dāng)某人（例如甲）贈了1件禮品給另一個（例如乙）時，就由甲向乙的代表點畫一條有指向的線，無非有以下兩個可能：
（1）甲、乙、丙、丁每人各收到了2件禮品．
（2）上面的情形不發(fā)生．這時只有以下一個可能，即有一個人接受了3件禮品．

Answer 1

設(shè)此四人為甲、乙、丙、丁并用畫在平面上的四個點分別表示他們，稱為它們的代表點，當(dāng)某人（例如甲）贈了1件禮品給另一個（例如乙）時，就由甲向乙的代表點畫一條有指向的線，無非有以下兩個可能：
（1）甲、乙、丙、丁每人各收到了2件禮品．
（2）上面的情形不發(fā)生．這時只有以下一個可能，即有一個人接受了3件禮品
（即多于2件禮品；因為一人之外總共還有三個人，所以至多收到3件禮品）．（或許會有人說，還有兩個可能：有人只收到1件禮品及有人什么禮品也沒收到．其實，這都可歸以“有一人接受了3件禮品”這個情形．因為，當(dāng)有一人（例如甲）只接受了1件禮品的情形發(fā)生時，四人共帶來的8件禮品中還剩下7件在甲以外的三個人中分配，如果他們每人至多只收到2件禮品，則收受禮品數(shù)將不超過6件，這不可能，所以至少有一人收到2件以上（即3件）禮品，同樣，當(dāng)甲未收到禮品時，8件禮品分給乙、丙、丁三人，也必定有人收到3件禮品）．
當(dāng)（1）發(fā)生時，例如甲收到乙、丙的禮品，由于甲發(fā)出的禮品中至少有1件給了乙或丙，為確切計，設(shè)乙收到了甲的禮品，于是我們先有了一對人：（甲、乙），他們互贈了禮品，如果丙也收到甲的禮品，那么又有了第二對互贈了禮品的人（甲、丙）；如果收到甲禮品的另一人是�。ㄈ缬覉D）丁的2件禮品必定分贈了乙及丙（甲已收足了本情形中限定的2件禮品）丙或乙的另一件禮品給了丁，則問題也解決（這時另一對互贈了禮品的人便是（乙、丁）或（丙、丁）但丙的另一件禮品只能給丁，因為這時乙已收足了2件禮品，所以，當(dāng)本情形發(fā)生時，至少能找到兩對互贈過1件禮品的人．
當(dāng)（2）發(fā)生時，不失一般性，設(shè)甲收到了來自乙、丙、丁的各1件禮品，但甲又應(yīng)向他們之中的某兩人（例如乙、丙）各贈送1件禮品，于是（甲、乙），（甲、丙）便是要找的兩對人．總上可知，證明完畢．