Question

從1，2，3…100中選取3個(gè)兩兩不同的正整數(shù)，使得它們的和能被3整除，問(wèn)有多少種選取方法？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問(wèn)題

分析：把這100個(gè)數(shù)分三組：（1）1，4，7…100被3除余1；（2）2，5，8…98被3除余2；（3）3，6，9…99被3整除；從第一組中任選一個(gè)，從第二組中任選一個(gè)，再?gòu)牡谌�組中任選一個(gè)，這樣選出的三個(gè)數(shù)的和能被3整除；或者選每組中的三個(gè)數(shù)，它們的和也能被3整除，據(jù)此用乘法原理和組合公式計(jì)算即可解答．

解答： 解：1，4，7，…，100這34個(gè)數(shù)被3除余1；
2，5，8，…，98這33個(gè)數(shù)被3除余2；
3，6，9，…，99這33個(gè)數(shù)被3整除；
從第一組中任選一個(gè)，從第二組中任選一個(gè)，再?gòu)牡谌�組中任選一個(gè)，這樣選出的三個(gè)數(shù)的和能被3整除；
或者選每組中的三個(gè)數(shù)，它們的和也能被3整除；
共有34×33×32+

34×33×32

3×2×1

+

33×32×31

3×2×1

+

33×32×31

3×2×1

=35904+5984+5456+5456
=52800（種）
答：不同的選數(shù)法有52800種．

點(diǎn)評(píng)：此題考查排列組合的實(shí)際運(yùn)用，注意利用兩種計(jì)數(shù)原理的綜合運(yùn)用．乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m₁種不同的方法，做第二步有m₂種不同的方法，…，做第n步有m_n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m₁×m₂×m₃×…×m_n種不同的方法．