Question

已知兩個(gè)自然數(shù)的和是54，最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差是114，求這兩個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：

分析：根據(jù)題意可設(shè)設(shè)兩個(gè)自然數(shù)為X和Y，它們的最大公約數(shù)為b，并且X=ab，Y=cb，且由題可知a，b，c都是正整數(shù)．由于兩個(gè)自然數(shù)的和是54，可得ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9；最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差是114，可得abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19，因?yàn)閍，b，c都是正整數(shù)，通過以上兩個(gè)式子可知，所以b 可能是2或3或2×3=6．由此代入數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答： 解：設(shè)兩個(gè)自然數(shù)為X和Y，則 X=ab，Y=cb，且由題可知a，b，c都是正整數(shù)，
則ab+cb=54=b（a+c）=2×3×9，
abc-b=114=b（ac-1）=2×3×19，
因?yàn)閍，b，c都是正整數(shù)
所以b可能是2或3或6．
經(jīng)檢驗(yàn)，b為2或3 a，c都無正整數(shù)解．
所以b只能是6，由此可知，a=4，c=5．
所以 X=ab=24   Y=cb=30．
答：這兩個(gè)數(shù)分別為24，30．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意列出等式，并由此求出兩數(shù)的最大公約數(shù)的取值范圍是完成本題的關(guān)鍵．