Question

將三位數(shù)

.

3ab

重復(fù)寫下去，一共寫1993個

.

3ab

，所得的數(shù)正好能被91整除，求

.

ab

．

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：先把91分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除特征和能被7和13整除的數(shù)的特征解答即可．

解答： 解：因為91=13×7，并且7與13互質(zhì)，7能整

.

3ab3ab…3ab

，13能整除

.

3ab3ab…3ab

；
根據(jù)一個數(shù)能被7和13整除的特征可得：這個三位數(shù)能被7和13整除，并且

.

3ab…3ab

（1992組

.

3ab

）-

.

3ab

能被7和13整除，即

.

3ab…3ab000

（1991組）能被7和13整除；
因為7與10 互質(zhì)，10與13互質(zhì)，所以7能整除

.

3ab…3ab000

（1991組），13能整除

.

3ab…3ab000

，也就是7能整除

.

3ab…3ab

（1991組），13能整除

.

3ab…3ab

（1991組），用一次性質(zhì)就去掉了2組

.

3ab

，反復(fù)使用996次，最后轉(zhuǎn)化為原數(shù)能被7以及13整除，并且只能被7和13整除；
因為91的倍數(shù)中百位數(shù)是3的只有91×4=364小于1000，所以

.

3ab

=364．
所以

.

ab

=64．

點評：此題主要考查整除的意義，根據(jù)整除的意義和數(shù)的整除的特征解決有關(guān)的問題．一個數(shù)能被7（或13）整除，那么這個數(shù)的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減小）能被7（或13）整除．然后根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì)與能被7（或13）整除的數(shù)的特征進一步解答即可．