Question

一個四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，將其千位與個位數(shù)字調換后形成新的四位數(shù)，新四位數(shù)與原數(shù)的最大公約數(shù)是63，則原四位數(shù)可能是多少？

Answer 1

考點：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：設M=abcd，N=dbca，則M-N=1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）；因為M和N的最大公約數(shù)是63，所以M與M-N的最大公約數(shù)也是63，
可得999（a-d）是7、9的倍數(shù)，所以a-d=7，解得

a=9 d=2

或

a=8 d=1

，所以M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍數(shù)，然后分類討論，求出原四位數(shù)可能是多少即可．

解答： 解：設M=abcd，N=dbca，則M-N=1000a+100b+10c+d-（1000d+100b+10c+a）=999a-999d=999（a-d）；
因為M和N的最大公約數(shù)是63，
所以M與M-N的最大公約數(shù)也是63，
可得999（a-d）是7、9的倍數(shù)，
所以a-d=7，
解得

a=9 d=2

或

a=8 d=1

，
M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍數(shù)，
①當M=9bc2時，
因為M是9的倍數(shù)，
所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍數(shù)，
因此b+c=7或b+c=16（舍去），
經驗證，9702滿足題意，
同理，2709也滿足題意；
②當M=8bc1時，
因為M是9的倍數(shù)，
所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍數(shù)，
因此b+c=9或b+c=18（舍去），
經驗證，8631滿足題意，
同理，1638也滿足題意，
綜上，原四位數(shù)是9702、2709、8631或1638．

點評：此題主要考查了公約數(shù)與公倍數(shù)問題的應用，解答此題的關鍵是判斷出：M與M-N的最大公約數(shù)也是63．