Question

某旅游度假村有一游泳池，裝有若干根彼此相同的進(jìn)水管，以及若干根彼此相同的出水管，每根水管進(jìn)水或出水的速度都保持不變．游泳池中現(xiàn)已裝有部分水，如果打開(kāi)1根進(jìn)水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光．如果打開(kāi)1根進(jìn)水管，5根出水管，60分鐘可將水池中的水全部排光．現(xiàn)在打開(kāi)1根進(jìn)水管和2根出水管，然后每隔5分鐘就增開(kāi)1根進(jìn)水管和3根出水管，直到打開(kāi)第n根進(jìn)水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，即停止操作，求：n是多少？

Answer 1

分析：開(kāi)1根進(jìn)水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光．如果打開(kāi)1根進(jìn)水管，5根出水管，60分鐘可將水池中的水全部排光；這兩次排水中，進(jìn)水管都是一根，排水管少了8-5=3根，時(shí)間多用了30分鐘，則這三根排水管30分能排完水池水的一半，則如果不開(kāi)進(jìn)行水管，單開(kāi)出水管的話(huà)，6根出水管30分鐘就能排完，如果單開(kāi)一根出水管的話(huà)，則需要180分鐘排完，由于開(kāi)1根進(jìn)水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光，所以一根進(jìn)水管的進(jìn)水量相當(dāng)于2根排水管的出水量．
由此可知，第一個(gè)5分鐘內(nèi)，有根進(jìn)水管和2根出水管，此時(shí)進(jìn)水量與出水量相等，這五分鐘內(nèi)池中水量不發(fā)生變化；
然后每隔5分鐘就增開(kāi)1根進(jìn)水管和3根出水管，實(shí)則每增加五分鐘就增加一個(gè)出水管的出水量，即增加

5

180

=

1

36

的出水量，所以第二個(gè)五分鐘結(jié)束后的出水量為

1

36

，第三個(gè)五分鐘結(jié)整后的出水量為

1

36

+

2

36

×2，則第m個(gè)五分鐘結(jié)束后出水量為

1

16

+

1

16

×2+

1

16

×3+…

1

36

×m，由于第n根進(jìn)水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，所以

1

36

+

1

36

×2+

1

36

×3+…

1

36

×n=1，由此即能求出m是多少．而n=m+1．

解答：解：由題意可知，只開(kāi)8-5=3根排水管，60-30=30分鐘能排完水的一半；
則只開(kāi)6根出水管30分鐘就能排完，如果單開(kāi)一根出水管的話(huà)，則需要30×6=180分鐘排完，
又由于開(kāi)1根進(jìn)水管，8根出水管，30分鐘可將水池中的水全部排光，
所以一根進(jìn)水管的進(jìn)水量相當(dāng)于8-6=2根排水管的出水量．
由此可知，單開(kāi)一根排水管5分鐘可排水池水的

5

180

=

1

36

，
由于直到打開(kāi)第n根進(jìn)水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，則：

1

36

+

1

36

×2+

1

36

×3+…

1

36

×n=1
即

1

36

+

2

36

+

3

36

+…+

n

36

=1，
所以1+2+3+…+n=36，
即（n+1）×n÷2=36，

n2+n

2

=36，
經(jīng)驗(yàn)證，n=8．
則打開(kāi)第8+1=9根進(jìn)水管5分鐘后，水池中的水正好全部排光，即n=9．

點(diǎn)評(píng)：首先根據(jù)已知條件求出一根排水管與一根進(jìn)水管進(jìn)水量與排水量的比是完成本題的關(guān)鍵．