一個(gè)正整數(shù)恰有8個(gè)約數(shù),它的最小的3個(gè)約數(shù)的和為15,且這個(gè)四位數(shù)的一個(gè)質(zhì)因數(shù)減去另一個(gè)質(zhì)因數(shù)的5倍等于第三個(gè)質(zhì)因數(shù)的2倍,這個(gè)數(shù)是
 
考點(diǎn):約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理
專題:整除性問題
分析:它的最小的3個(gè)約數(shù)的和為15,1肯定是其中一個(gè)約數(shù),另兩個(gè)最小的約數(shù)之和是14,然后通過列舉,推出它的最小的3個(gè)約數(shù)只能是:1,3,11;它是4位數(shù),所以,3和它本身肯定也是它的約數(shù),所以已經(jīng)有5個(gè)約數(shù)了,其中有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)3,11,另外它至少有3個(gè)質(zhì)因數(shù),設(shè)第3個(gè)質(zhì)因數(shù)為x.那么它的約數(shù)有:1,3,11,33,x,3×x,11×x,這個(gè)數(shù)本身,剛好8個(gè),所以有 x-5×3=2×11或者 x-5×11=2×3,由此可以得出x=37或61;由此即可得出結(jié)論.
解答: 解:它的最小的3個(gè)約數(shù)的和為15,1肯定是其中一個(gè)約數(shù),另兩個(gè)最小的約數(shù)之和是14,
可能是:7、7(不符),6、8(如果是這兩個(gè),那2也是,不符),
5、9(如果是這兩個(gè),那3也是,不符),4、10(如果是這兩個(gè),那2也是,不符),3、11(符合),
所以可以推出它的最小的3個(gè)約數(shù)只能是:1,3,11;它是4位數(shù),所以,33和它本身肯定也是它的約數(shù),所以已經(jīng)有5個(gè)約數(shù)了,其中有兩個(gè)質(zhì)因數(shù)3,11,另外它至少有3個(gè)質(zhì)因數(shù),設(shè)第3個(gè)質(zhì)因數(shù)為x.那么它的約數(shù)有:1,3,11,33,x,3×x,11×x,這個(gè)數(shù)本身,剛好8個(gè),所以有x-5×3=2×11或者 x-5×11=2×3,由此可以得出x=37或61;
所以它的約數(shù)有:1,3,11,33(3×11),37,111(3×37),407(11×37),1221(3×11×37)
或 1,3,11,33(3×11),61,183(3×61),671(11×61),2013(3×11×61)
所以答案應(yīng)該是1221或2013;
故答案為:1221或2013.
點(diǎn)評:此題考查了約數(shù)個(gè)數(shù)和約數(shù)和定理,根據(jù)題意,進(jìn)行推導(dǎo),得出它的最小的3個(gè)約數(shù)是:1,3,11,是解答此題的關(guān)鍵.
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