Question

在多元智能大賽的決賽中只有三道題．已知：（1）某校25名學(xué)生參加競(jìng)賽，每個(gè)學(xué)生至少解出一道題；（2）在所有沒(méi)有解出第一題的學(xué)生中，解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍：（3）只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1人；（4）只解出一道題的學(xué)生中，有一半沒(méi)有解出第一題，那么只解出第二題的學(xué)生人數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：不定方程的分析求解

專(zhuān)題：不定方程問(wèn)題

分析：先將答題情況分為7類(lèi)，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，從不定方程中解出符合條件的解．

解答： 解：根據(jù)“每個(gè)人至少答出三題中的一道題”可知答題情況分為7類(lèi)：只答第1題，只答第2題，只答第3題，只答第1、2題，只答第1、3題，只答2、3題，答1、2、3題．
分別設(shè)各類(lèi)的人數(shù)為a₁、a₂、a₃、a₁₂、a₁₃、a₂₃、a₁₂₃，
由（1）知：a₁+a₂+a₃+a₁₂+a₁₃+a₂₃+a₁₂₃=25，…①
由（2）知：a₂+a₂₃=（a₃+a₂₃）×2，…②
由（3）知：a₁₂+a₁₃+a₁₂₃=a₁-1，…③
由（4）知：a₁=a₂+a₃，…④
由②得：a₂₃=a₂-a₃×2，…⑤
由③④得：a₁₂+a₁₃+a₁₂₃=a₂+a₃-1，…⑥
把④⑤⑥代入①中，整理得到：a₂×4+a₃=26，
由于a₂、a₃均表示人數(shù)，可以求出它們的整數(shù)解：
當(dāng)a₂=6、5、4、3、2、1時(shí)，a₃=2、6、10、14、18、22；
又根據(jù)⑤可知：a2＞a3，
因此，符合條件的只有a₂=6，a₃=2．
然后可以推出a₁=8，a₁₂+a₁₃+a₁₂₃=7，a₂₃=2，總?cè)藬?shù)=8+6+2+7+2=25，檢驗(yàn)所有條件均符合．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)“每個(gè)人至少答出三題中的一道題”將答題情況分為7類(lèi)，難點(diǎn)是從不定方程中解出符合條件的解．