Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，不經(jīng)過的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，如果直線、、的斜率依次成等差數(shù)列，求焦點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知條件算出的值，得出橢圓C的方程；（2）設(shè)， ，直線的方程為，代入橢圓方程中，消去得，由韋達(dá)定理求出的值，利用直線、、的斜率依次成等差數(shù)列，得到，從而，即，化簡得，由點(diǎn)到直線的距離，求出的表達(dá)式，通過借助函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍。

試題解析（1）由題意，知考慮到，解得

所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，

整理得.

由，得. ①

設(shè)， ，則， .

因?yàn)?/span>，所以， .

因?yàn)?/span>，且， ，

所以.

因?yàn)橹本�AB： 不過焦點(diǎn)，所以，

所以，從而，即. ②

由①②得，化簡得. ③

焦點(diǎn)到直線： 的距離.

令，由知.

于是.

考慮到函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，解得.