Question

甲、乙兩人輪流從1，2，3，…，100，101這101個(gè)自然數(shù)中每次劃掉9 個(gè)數(shù)，經(jīng)過11次后，還剩下兩個(gè)數(shù)．如果甲第一個(gè)劃數(shù)，請問甲是否有方法使得最后剩下的兩個(gè)數(shù)之差是55？并說明理由．

Answer 1

分析：由于56-1=55，57-2=55，…101-46=55，所以甲可先劃去47 至55 這9 個(gè)自然數(shù)，于是還剩下1 至46，56 至101這些數(shù)．將這些數(shù)分成以下46 組：（1，56），（2，57），（3，58），…，（45，100），（46，101）①．每組的兩個(gè)數(shù)之差都是55．接下來，如果乙只劃上述某組中的一個(gè)數(shù)，甲就劃掉該組的另一個(gè)數(shù)；如果乙劃掉了某組的兩個(gè)數(shù)，甲就將未劃掉數(shù)的另外一組劃掉．按此操作即可．

解答：解：甲先劃去47 至55 這9 個(gè)自然數(shù)，于是還剩下1 至46，56 至101這些數(shù)．
將這些數(shù)分成以下46 組：（1，56），（2，57），（3，58），…，（45，100），（46，101）①．
每組的兩個(gè)數(shù)之差都是55．
接下來，如果乙只劃上述某組中的一個(gè)數(shù)，甲就劃掉該組的另一個(gè)數(shù)；
如果乙劃掉了某組的兩個(gè)數(shù)，甲就將未劃掉數(shù)的另外一組劃掉．
由此，甲、兩人輪流劃數(shù)，則最后剩下的兩個(gè)數(shù)一定是①描述的一組，兩數(shù)之差為55．
所以甲可以采取上述的策略使得最后剩下的兩個(gè)數(shù)之差是55．

點(diǎn)評：完成本題首先要先由甲開始劃，然后將數(shù)字分組才能實(shí)施．