Question

19．如圖所示的幾何體是由10個相同的小正方體木塊搭建的，已知小正方體的棱長為1cm．
（1）該幾何體的體積是10cm³，表面積是36cm²．
（2）如果在原圖的基礎(chǔ)上繼續(xù)搭建，使搭建后的幾何體構(gòu)成一個大正方體，那么至少還需要17個小正方體．
（3）仔細觀察該幾何體的排列規(guī)律，請你猜想，按照這種方法繼續(xù)搭建若干層，若幾何體共四層，則小正方體共有10個；若某層的小正方體共有28個，則該層是第7層．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方體的體積公式，得到一個小正方體的體積是1×1×1=1立方厘米，10個相同的小正方體的體積是1×10=10立方厘米；根據(jù)一個正方體有6個面，從6個方向觀察這個幾何體，每個方向的面積都是1+2+3=6個正方形，即6平方厘米，總表面積為6×6=36平方厘米；
（2）若繼續(xù)搭建，搭建后的幾何體構(gòu)成一個大正方體，長款高都是3個小正方體，共需要3×3×3=27個小正方體，那么至少還需要27-10=17個；
（3）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)第一層有1個；第二層有3個，3=1+2；第三層有6個，6=1+2+3；以此類推，第四層有1+2+3+4=10個；…第n層有1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$個；$\frac{7×8}{2}$=28，n=7，據(jù)此得解．

解答 解：（1）1×1×1×10=10（立方厘米）
（1+2+3）×6=36（平方厘米）
答：該幾何體的體積是 10cm³，表面積是 36cm²．

（2）3×3×3-10
=27-10
=17（個）
答：至少還需要 17個小正方體．

（3）1+2+3+4=10（個）
1+2+3+4+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$
$\frac{7×8}{2}$=28，
n=7（層）
答：若幾何體共四層，則小正方體共有10個；若某層的小正方體共有28個，則該層是第7層．
故答案為：10，36，17，10，7．

點評 解決此題的關(guān)鍵是找出小正方體的排列規(guī)律．