Question

14．如圖，已知圓O的周長與扇形OAB所對的弧長的比值為1，那么圓O的面積與扇形OAB的面積的比值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)圓O的半徑為r，則圓O的周長為2πr，設(shè)扇形OAB所在的半徑為R，則扇形OAB的弧長為$\frac{120}{360}$×πR×2=$\frac{2}{3}$πR，由已知得2πr：$\frac{2}{3}$πR=1，求出r與R的關(guān)系，再根據(jù)圓面積公式解答即可．

解答 解：設(shè)圓O的半徑為r，則圓O的周長為2πr，
設(shè)扇形OAB所在的半徑為R，則扇形OAB的弧長為$\frac{120}{360}$×πR×2=$\frac{2}{3}$πR，
（2πr）：（$\frac{2}{3}$×πR×2）=1
2πr=$\frac{2}{3}$πR
r=$\frac{1}{3}$R
R=3r
（πr²）：（$\frac{120}{360}$πR²）
=πr²：[$\frac{1}{3}$π（3r）²]
=πr²：[$\frac{1}{3}$π×9r²]
=πr²：[3πr²]
=1：3
=$\frac{1}{3}$
答：圓O的面積與扇形OAB的面積的比值為$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 解答本題的關(guān)鍵是先求出圓O與扇形OAB的半徑之間的關(guān)系，然后利用圓面積公式進一步解答即可．