Question

將l，2，3…49，50任意分成l0組，每組5個數(shù)，在每組中取數(shù)值居中的那個數(shù)為“中位數(shù)”，求這l0個中位數(shù)之和的最大值及最小值．

Answer 1

分析：設(shè)10個“居中數(shù)”從小到大是a₁，a₂，a₃，…，a₉，a₁₀，它們所代表的那組數(shù)分別為第一組，第二組…，第十組．從而推出這l0個中位數(shù)之和的最大值及最小值．

解答：解：設(shè)10個“居中數(shù)”從小到大是a₁，a₂，a₃，…，a₉，a₁₀，它們所代表的那組數(shù)分別為第一組，第二組…，第十組．
a₁比第一組中兩個數(shù)大，所以a₁≥3．a(chǎn)₂比第二組中兩個數(shù)大，又比第一組的前3個數(shù)大，所以a₂≥6，依此類推，a₁₀比第十組中兩個數(shù)大，又比前九組中，每一組的前3個數(shù)大，所以a₁₀≥30，因此，居中和
S≥3+6+…十30=165（1）
另一方面，a₁₀比第十組中兩個數(shù)小，所以a₁₀≤50-2=48．a(chǎn)₉比第九組中兩個數(shù)小，又比第十組的后3個數(shù)小，所以a₉≤50-5=45．依此類推：a₁比第一組中兩個數(shù)小，又比后九組中，每一組的后3個數(shù)小，所以a₁≤50-9×3-2=21．因此．居中和 S≤48+45+…+21=345（2）
（1）（2）中的等號都可以成立，例如分組：
（1，2，3，49，50），（4，5，6，47，48），（7，8，9，45，46），（10，11，12，43，44），（13，14，15，41，42），（16，17，18，39，40），（19，20，21，37，38），（22，23，24，35，36），（25，26，27，33，34），（28，29，30，31，32）
使得S=165，這是最小的居中和，又如分組：
（1，2，21，22，23），（3，4，24.25，26），（5，6，27，28，29）；（7，8，30，31，32），（9，10，33，34，35），（11，12，36，37，38），（13，14，39，40，41），（15，16，42，43，44），（17，18，45，46 47），（19，20，48，49，50）
使得S=345，這是最大的居中和．
答：最大的居中和是345，最小的居中和是165．

點評：此題也可這樣解答：根據(jù)題意要求和的最大值，則按從大到小的順序排列后，將50，49，48排在一起，48作為中位數(shù)，依次得到其他的中位數(shù)，相加即可．
根據(jù)題意得：滿足和的最大值的中位數(shù)分別為：48，45，42，39，36，33，30，27，24，21，
所以這10個中位數(shù)的和的最大值是48+45+42+39+36+33+30+27+24+21=345．
同理求出最小值為165．