Question

從1、2、3、…、100這100個(gè)數(shù)中任意挑出51個(gè)數(shù)字，證明在這51個(gè)數(shù)中，一定：
（1）有2個(gè)數(shù)互質(zhì)；
（2）有2個(gè)數(shù)的差為50；
（3）有8個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橄噜彽膬蓚�(gè)自然數(shù)一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)是偶數(shù)，相差1，所以這兩個(gè)數(shù)必定是互質(zhì)數(shù)，1、2、3、…、100這100個(gè)數(shù)中，考慮最優(yōu)情況：挑出的50個(gè)數(shù)字分別是2、4、6、8、10…100，都不互質(zhì)，則再任意挑出1個(gè)數(shù)，則必定與這50個(gè)偶數(shù)中一個(gè)數(shù)相鄰，是互質(zhì)數(shù)，據(jù)此即可解答；
（2）將1至100分成50組（即50個(gè)抽屜）：（1，51）（2，52）（3，53）（4，54）…（50，100）；根據(jù)抽屜原理，進(jìn)行分析即可．
（3）將100個(gè)數(shù)分成5組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}； 第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)，即{1，11，13，…，97}．據(jù)此利用抽屜原理即可解答．

解答：解：（1）因?yàn)橄噜彽膬蓚�(gè)自然數(shù)一個(gè)奇數(shù)、一個(gè)是偶數(shù)，相差1，
所以這兩個(gè)數(shù)必定是互質(zhì)數(shù)，1、2、3、…、100這100個(gè)數(shù)中，
考慮最優(yōu)情況：從1到100這100個(gè)數(shù)中，挑出的50個(gè)數(shù)字分別是2、4、6、8、10…100，都不互質(zhì)，
則再任意挑出1個(gè)數(shù)，則必定與這50個(gè)偶數(shù)中一個(gè)數(shù)相鄰，是互質(zhì)數(shù)，

（2）構(gòu)造如下50個(gè)抽屜：（1，51），（2，52），（3，53）…（50，100）；
從這50組中選出51個(gè)數(shù)，由抽屜原理，必有一組選了兩個(gè)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的差就是50，據(jù)此得證．

（3）把1到100這100個(gè)數(shù)分組（一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)）：第一組：2的倍數(shù)，即{2，4，…，100}；
第二組：3的倍數(shù)，即{3，6，…，99}；
第三組：5的倍數(shù)，即{5，10，…，100}；
第四組：7的倍數(shù)，即{7，14，…，98}； 
第五組：1和大于7的質(zhì)數(shù)，即{1，11，13，…，97}．
第五組中一共有22個(gè)數(shù)，所以選出的51個(gè)數(shù)中至少有29個(gè)數(shù)在第一組到第四組中，
根據(jù)抽屜可以知道總會(huì)有8個(gè)數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)大于1，據(jù)此得證．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于典型的抽屜原理習(xí)題，解答此類題的關(guān)鍵是找出把誰(shuí)看作“抽屜個(gè)數(shù)”，把誰(shuí)看作“物體個(gè)數(shù)”，然后根據(jù)抽屜原理解答即可．