Question

要求長1米的銅管鋸成長38毫米和長90毫米的兩種規(guī)格的小銅管，每鋸一次損耗1毫米銅管，那么只有當(dāng)鋸得這兩種規(guī)格的小銅管段數(shù)分別是多少時？才能使損耗最少？

Answer 1

考點(diǎn)：公因數(shù)和公倍數(shù)應(yīng)用題

專題：約數(shù)倍數(shù)應(yīng)用題

分析：根據(jù)題意可知，同樣長度的銅管鋸的次數(shù)越少則損耗的就越少，要想分割的次數(shù)越少就要使每一段的長度最大．本題中就是要讓90毫米的銅管達(dá)到最多，而讓38毫米的銅管最少．因為鋸一次要損耗1毫米銅管，我們設(shè)38毫米、90毫米的銅管分別鋸X段、Y段，那么，根據(jù)題意，有：38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1．要使損耗最少，就應(yīng)盡可能多鋸90毫米長的銅管，也就是說上面式中的X應(yīng)盡可能小，Y盡可能大．將X的值按由小到大順序，用試代法代入，解這個不定方程就不難得到答案了．

解答： 解：設(shè)38毫米、90毫米的木條分別鋸X段、Y段，那么根據(jù)題意有：
     38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1
     即39X+91Y=1001
要使損耗最少，就應(yīng)盡可能多鋸90毫米長的木條，也就是說上面式中的X應(yīng)盡可能小，Y盡可能大．
將X的值按由小到大順序，用試代法代入，解這個不定方程得：
當(dāng)X=1時，Y=10.57； 當(dāng)X=2時，Y=10.14； 當(dāng)X=3時，Y=9.71；
當(dāng)X=4時，Y=9.28；  當(dāng)X=5時，Y=8.86；  當(dāng)X=6時，Y=8.43；
當(dāng)X=7時，Y=8；…當(dāng)X=14時，Y=5；…
因為根據(jù)題意X、Y都必須是自然數(shù)，
所以，X=7，Y=8．才是符合題意的解．
此時損耗的木條長度是：（7+8-1）×1=14（毫米）．
而當(dāng)X=14，Y=5時，損耗的木條長度是：（14+5-1）×1=18（毫米）
因為14＜18．所以X=14，Y=5不是符合題意的解．
所以只有當(dāng)38毫米的木條鋸7段，90毫米的木條鋸8段時，損耗最少．
答：只有當(dāng)鋸得的38毫米的木條鋸為7段、90毫米的木條為8段時，所損耗的木條才能最少．

點(diǎn)評：這是一個解不定方程，求最小值（或最大值）的應(yīng)用題，解題時要分清題目要求的是什么最��；什么最大．本題中我們要損耗最小，就要每段的長度最大，鋸銅管的次數(shù)最少．