Question

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關系；
（2）將圖1中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖2所示，取DF中點G，連接EG，CG．
你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）將圖1中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？（不要求證明）

Answer 1

解：（1）由分析可知：EG=CG；
（2）

（1）中得到的結論沒有發(fā)生變化，即EG=CG；
證明：連接AG，過G點作MN⊥AD于點M，與EF的延長線交于N點，則四邊形AENM為矩形．
在△DAG與△DCG中，
因為AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=CG，
所以△DAG≌△DCG（SAS）．
所以AG=CG．
在△DMG與△FNG中，
因為∠MDG=∠NFG，DG=FG，∠DGM=∠FGN，
所以△DMG≌△FNG（ASA）．
所以MG=NG．
因為四邊形AENM為矩形，
所以AM=EN，∠AMG=∠ENG=90°．
在△AMG與△ENG中，
因為AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
所以△AMG≌△ENG（SAS）．
所以AG=EG．
所以EG=CG．
（3）如下圖，

（1）中的結論仍然成立．
分析：（1）由題意可知，△DEF和△DCF都是直角三角形，因為EG和CG分別是它們斜邊上的中線，依據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知，EG=DF，CG=DF，所以EG=CG；
（2）像這種有一定規(guī)律的題目，一般情況是結論不變．先猜想再證明即可；證明線段的相等，比較常見的方法是證明這兩條線段所在的三角形全等，有時候還要添加輔助線構造三角形，本題也是，如下圖添加輔助線，利用三角形全等證明即可．

（3）很明顯本題體現(xiàn)了由特殊到一般的規(guī)律，既然不要求證明，答案一定是肯定的，否則本題就沒有什么意義了．在△BEF的旋轉過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點．可以延長一倍EG到H，從而構造一個和△EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等過渡．要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關系就可以得證了．
點評：本題應該為中學的內容，考查了圖形變化中的規(guī)律問題，難度較大．作出輔助線是解決的關鍵．