Question

如圖，在矩形ABCD中，已知對(duì)角線長(zhǎng)為2，且∠1=∠2=∠3=∠4．求四邊形EFGH的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)（份數(shù)、比例）

專(zhuān)題：平面圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：由∠1=∠2=∠3=∠4可得出∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，從而可得出∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，這樣即可得出HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四邊形，連接AC、BD，則有：

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，從而可得

GF

AC

+

HG

BD

=

AG

AD

+

GD

AD

=1，即GF+HG=AC=2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出四邊形EFGH的周長(zhǎng)．

解答： 解：因?yàn)椤?=∠2=∠3=∠4，
所以∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，
在四邊形GHEF中，∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，
故可得HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四邊形，
所以△AHG≌△CFE，△DGF≌△BEH，△BEH∽△CEF，△DGF∽△CEF，
所以

BE

CE

=

BH

CF

=

DF

FC

，
所以EF∥BD，
同理HG∥BD，
所以

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，
所以

GF

AC

+

HG

BD

=

AG

AD

+

GD

AD

=1，又因?yàn)?span id="x5pth9f" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

GF

AC

+

HG

BD

=

GF

AC

+

HG

AC

，AC=BD，
即GF+HG=AC=2，
所以四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（GF+HG）=4．
答：四邊形EFGH的周長(zhǎng)是4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，題目看著比較簡(jiǎn)單，但不容易想出求解思路，解答本題的關(guān)鍵是得出比例式

GF

AC

=

GD

AD

，

HG

BD

=

AG

AD

，進(jìn)而解決問(wèn)題．