Question

【題目】如圖，在四棱椎中，底面為菱形， 為的中點.

(1)求證： 平面；

(2)若底面， ， ， ，求三棱椎的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：(1) 連接交于點，連接，由底面為菱形，可知點為的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得 ，由線面平行的判定定理可得平面；(2)根據(jù)相似三角形的性質以及勾股定理可求出，點到底面的距離為，求出底面積，利用棱錐的體積公式可求得三棱椎的體積.

試題解析：(1)證明：如圖，連接交于點，連接，由底面為菱形，可知點為的中點，

又∵為中點，

∴為的中位線，

∴.

又∵平面， 平面，

∴平面.

(2)解：∵底面，底面為菱形， ，∴，

又易得，

∴，

∵，得，

∴點到底面的距離為，

∴.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、棱錐的體積公式，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.