Question

如圖是一個由許多完全相同的白色立方體構成的實心塔，共有20層，除了與桌子接觸的那一面，塔的外表都被涂成了紅色．如果將塔拆開，請問有多少個各面全都是白色的立方體？

Answer 1

考點：染色問題

專題：幾何的計算與計數(shù)專題

分析：通過仔細觀察，發(fā)現(xiàn)：按規(guī)律從上至下各面全是白色的立方體從第3層到20層各層分別有1²，2²，3²，…+17²，18²，因此共有白色的立方體共有：1²+2²+3²+…+17²+18²=2109（個）

解答： 解1²+2²+3²+…+17²+18²
=9×19²-2[（19-1）×1+（19-2）×2+（19-3）×3+…+（19-8）×8+（19-9）×9]=9×19²-2×[19×（1+2+3+…+8+9）-（1²+2²+3²+…+8²+9²）]
而：由等差數(shù)列求和公式可知：
1+2+3+…+8+9=45
1²+2²+3²+…+8²+9²
=1²+2²+3²+4²+5²+（10-4）²+（10-3）²+（10-2）²+（10-1）²
=1²+2²+3²+4²+5²+4*10²+1²+2²+3²+4²-2×10×（1+2+3+4）
=2×（1²+2²+3²+4²）+5²+4×10²-2×10×（1+2+3+4）
=60+25+400-200
=285
所以：9×19²-2×[19×（1+2+3+…+8+9）-（1²+2²+3²+…+8²+9²）]
=9×19²-2×（19×45-285）
=3249-1140
=2109（個）
答：有2109個各面全都是白色的立方體．

點評：計算時，先觀察題目的特點：
1+18=19，2+17=19，3+16=19，4+15=19，5+14=19，6+13=19，
7+12=19，8+11=19，9+10=19
同時：1，2，3，4，5這些數(shù)的平方都很簡單．