Question

有這樣一串?dāng)?shù)

1

2

、

1

3

、

2

3

、

1

4

、

2

4

、

3

4

、

1

5

、

2

5

、

3

5

、

4

5

…
（1）第407個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？
（2）從

1

2

開始，前407個(gè)分?jǐn)?shù)的和是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列中的規(guī)律

專題：探索數(shù)的規(guī)律

分析：（1）觀察給出的數(shù)列知道，分母是2的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分母是3的分?jǐn)?shù)有2個(gè)，分母是4的分?jǐn)?shù)有3個(gè)…分母是n的分?jǐn)?shù)有n-1個(gè)，由此知道根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和n（n-1）÷2，先求出第407個(gè)分?jǐn)?shù)的分母，進(jìn)一步解決問題即可．
（2）分母是2的分?jǐn)?shù)的和是

1

2

，分母是3的分?jǐn)?shù)的和是1，分母是4的分?jǐn)?shù)的和是

3

2

，分母是5的分?jǐn)?shù)的和是2，…分母每增加1，它們的和就增加

1

2

，由此求解．

解答： 解：（1）因?yàn)榉帜甘?的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分母是3的分?jǐn)?shù)有2個(gè)，分母是4的分?jǐn)?shù)有3個(gè)…分母是n的分?jǐn)?shù)有n-1個(gè)，
所以分?jǐn)?shù)一共有1+2+3+4+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，

29×(29-1)

2

=406；
則第407個(gè)分?jǐn)?shù)是

1

30

．
答：第407個(gè)分?jǐn)?shù)是

1

30

．

（2）第407個(gè)分?jǐn)?shù)是

1

30

，第29個(gè)分?jǐn)?shù)就是

28

29

，

1

2

+（

1

3

+

2

3

）+（

1

4

+

2

4

+

3

4

）+（

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

）+…（

1

29

+

2

29

+…

28

29

）+

1

30

=

1

2

+

2

2

+

3

2

+

4

2

+…+

28

2

+

1

30

=

(1+28)×28÷2

2

+

1

30

=203+

1

30

=203

1

30

答：從

1

2

開始，前407個(gè)分?jǐn)?shù)的和是203

1

30

．

點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)給出的數(shù)列，歸納總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解決問題．