Question

在一個等邊三角形內(nèi)畫一個盡可能大的圓，又在這個圓內(nèi)畫一個盡可能大的等邊三角形，圖中小等邊三角形的面積相當(dāng)于大等邊三角形面積的

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．（提示：動手畫一畫）

Answer 1

分析：
如圖所示，在等邊三角形ABC內(nèi)能畫出的面積最大的圓是三角形ABC的內(nèi)切圓O，設(shè)三個切點分別為D、E、F，則三角形DEF為圓O內(nèi)面積最大的等邊三角形，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可知，點D、E、F分別為三角形ABC三邊的中點，即DE，DF，EF為三角形ABC的三條中位線，因為三角形的三條中位線把三角形分成四個面積相等的三角形，因而圖中小等邊三角形DEF的面積相當(dāng)于大等邊三角形面積的

1

4

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解答：解：如圖所示：

作圖步驟：
1、作等邊三角形ABC，
2、分別作三個內(nèi)角的平分線AE，CD，BF相交于點O，
3、以點O為圓心，OE長為半徑作圓O，則圓O即三角形ABC內(nèi)面積最大的圓--內(nèi)切圓，
4，連接DE，EF，DF，則三角形DEF即圓O的內(nèi)接等邊三角形，也就是圓O內(nèi)面積最大的三角形．
由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知，點D，E，F(xiàn)分別為三角形ABC三邊的中點，因而DE，DF，EF為三角形ABC的三條中位線，因為三角形的三條中位線把三角形分成四個面積相等的三角形，因而圖中小等邊三角形DEF的面積相當(dāng)于大等邊三角形面積的

1

4

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故答案為：

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4

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點評：本題較為復(fù)雜，若想要嚴格的證明，需用到初中階段的相似三角形的性質(zhì)，或特殊角的三角函數(shù)及勾股定理．