Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，矩形EHGF在三角形ABC內(nèi)，且G、H在邊BC上．求矩形EHGF的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：組合圖形的面積

專題：平面圖形的認(rèn)識與計(jì)算

分析：要使矩形EHGF的面積最大，則應(yīng)使E、F在AB和AC的中點(diǎn)上，這時(shí)矩形的面積最大．

解答： 解：矩形EFGH的面積最大時(shí)，E和F應(yīng)分別在AB和AC上，作BP⊥AB，CP⊥AC，BP與CP將于點(diǎn)P，四邊形ABPC是正方形，延長EH交BP于W，延長FG交CP于Q，邊長QW，AP分別交EF與U、V．

容易證明，四邊形EFQW是頂點(diǎn)在正方形ABPC的邊長上的矩形，并且在正方形ABPC內(nèi)，設(shè)AE=x，則EB=1-x，
AE=AF=PW=PQ=x
EB=BW=FC=QC=1-x
于是
EW=UV，EU=AU，WV=VP
因此
EF+EW+WQ+QF=AP+BC=常數(shù)
即矩形EFQW的周長一定，在所在周長相同的矩形中，面積最大者為周長的正方形，此時(shí)AE：EB=1，因此矩形EFGH的面積最大為
S_□EFGH=

1

2

S_△ABC=

1

4

．
答：矩形EFGH的面積最大為

1

4

．

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵是確定當(dāng)矩形EFGH面積最大時(shí)它的面積與三角形ABC面積的關(guān)系．