Question

現(xiàn)有100個(gè)物體，其重量分別為l，2，3，…，100克．設(shè)它們可以用有8個(gè)重量為整數(shù)的砝碼的天平分別稱出其重量．請問最重的砝碼的最小可能值是多少克？（并請寫出所選八個(gè)砝碼的重量）（規(guī)定稱的時(shí)候，物體只能放在天平的右邊，砝碼只能放在天平的左邊．）

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：首先此題是一道關(guān)于砝碼的計(jì)數(shù)問題，涉及到最值問題和抽屜原理．我們直接使用最基本的數(shù)學(xué)邏輯來進(jìn)行推論和解答．
從最后所求進(jìn)行分析，要求第二重的砝碼最少，無法進(jìn)行直接突破，使用的是最值原理的重點(diǎn)思路之一：從反面考慮．第二重砝碼最少，那么就應(yīng)該使其他的砝碼盡量大．據(jù)此推理．

解答： 解：①10個(gè)砝碼的總重量很顯然應(yīng)該是100克．
②其中最重的砝碼應(yīng)該最大是100克．
③最小的砝碼很顯然必須是1克．下一個(gè)按道理還可以是1克，這樣就可以稱出2克物品，所以第二小的砝碼最大應(yīng)該是2克．
④第三小的砝碼．可以確定是4克．
⑤同理第四小的砝碼，應(yīng)該是8克
⑥依此類推，其他砝碼依次為16，32，6…
⑦8個(gè)砝碼總和應(yīng)該是100克，要使得最重的盡量少（其實(shí)是10個(gè)中第二重的），那么后面的就不需要那么大了．
⑧假設(shè)前面6個(gè)砝碼為1、2、4、8、16、32…那么顯然最重的應(yīng)該為32，不一定是最少的，
⑨假設(shè)前面5個(gè)砝碼為1、2、4、8、16，那么還有3個(gè)總和為100-31=69，根據(jù)抽屜原理，可分配為23、23、23，最重的為23，這是最少的．
綜上，八個(gè)砝碼的重量為：1，2，4，8，16，23，23，23；其中最重的砝碼的重量為23．

點(diǎn)評：1、此題的難度很大，考察到了最值問題，最值問題是數(shù)學(xué)中的重要專題，最值問題最重要的思想就是某數(shù)的最大一定對應(yīng)著其他數(shù)的最�。�
2、此題的分析思路都要注意到兩個(gè)限制條件：“砝碼盡量大”的原則和“能稱出1，2，3，…，200的所有整數(shù)克的物品來”的前提．兩個(gè)條件互相綜合才得到前面砝碼呈現(xiàn)1，2，4，8…的規(guī)律．
3、同時(shí)還滲透了抽屜原理．