Question

用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字，能否組成一個最小的、能被11整除的九位數(shù)？如果能，請寫出這個九位數(shù)，并寫出思考過程；如果不能，請說明原因．

Answer 1

分析：由于能被11整除的整數(shù)，其奇位數(shù)上數(shù)字之和與偶位數(shù)上數(shù)字之和的差也是11的倍數(shù)，根據(jù)這9個數(shù)字之和為45，那么奇位與偶位上的數(shù)字個數(shù)必定是：要么為4個，要么為5個，然后分情況討論即可得出答案．

解答：解：由于能被11整除的整數(shù)，其奇位數(shù)上數(shù)字之和與偶位數(shù)上數(shù)字之和的差也是11的倍數(shù)，但這9個數(shù)字之和為45，那么奇位與偶位上的數(shù)字個數(shù)必定是：要么為4個，要么為5個．
假設奇位與偶位上的數(shù)字之和分別為a、b，則有：a+b=45，
可知a、b必定為一奇一偶，a、b二者中最小為1+2+3+4=10，那么a、b只有一種可能解：28、17，
要使組成的九位數(shù)最小，1、2、3、4、5應盡量排在前面，6、7、8、9盡量排在后面，因為這個數(shù)最小的排列方式（先不考慮被11整除）為123456789，其中奇數(shù)位和=25大于17，所以奇數(shù)位和=28，偶數(shù)位和=17，因為123456789中奇數(shù)位和比28小三，所以把后六位數(shù)每兩位調(diào)換，變成124365879；
綜上得：最小的九位數(shù)為124365879．

點評：本題主要考查數(shù)的整除性問題，難度較大，需要很強的邏輯思維能力，解答本題時要充分利用討論試探的方法，對于此類題目往往不能一步到位，而需要慢慢試探著進行．