Question

一個(gè)圓上有1c個(gè)點(diǎn)A₁，A_c，A₃，…，A₁₁，A_1c．以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連g角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)g角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)g角形的邊都不相交．問共有多少種不同的連法？

Answer 1

（1）如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法；
（2）如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除A₁所在r角形的r頂點(diǎn)外，剩下的r個(gè)點(diǎn)一定只能在A₁在r角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法． （3）如果圓上有k個(gè)點(diǎn)，考慮A₁所在的r角形．此時(shí)，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在：①A₁所在r角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；②也可能r個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另r個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上；在表2中用“+”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的��；如果是情形①，則由（2），這六個(gè)點(diǎn)有r種連法；如果是情形②，則由①，每r個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法；共有12種連法．


（7）最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)．同樣考慮A₁所在r角形，剩下k個(gè)點(diǎn)的分布有r種可能：①k個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上；②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另r點(diǎn)在另一段弧上；③每r個(gè)點(diǎn)在A₁所在r角形的一條邊對(duì)應(yīng)的弧上．得到表3；共有12×3+3×6+1=22種．

所以共有22種不同的連法．