Question

4．一長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1厘米，一只小蟲(chóng)從一頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，如果要求不走重復(fù)路線，小蟲(chóng)回到出發(fā)頂點(diǎn)所走最長(zhǎng)路徑是18厘米，最短路徑是6厘米．

Answer 1

分析 長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)都是奇點(diǎn)，要將它們都變成偶點(diǎn)才能從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，回到原頂點(diǎn)且路線不重復(fù)，這就需要去掉4條棱．但顯然不可能都去掉長(zhǎng)度為1厘米的或去掉3條長(zhǎng)度為1厘米的，這樣它的路就斷了，但可去掉兩條1厘米、兩條2厘米的梭，所以最長(zhǎng)路徑是3+1+3+2+3+1+3+2=18（厘米），最短路徑是1+2+1+2=6厘米．

解答 解：如圖，長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)都是奇點(diǎn)，要將它們都變成偶點(diǎn)才能從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，回到原頂點(diǎn)且路線不重復(fù)，這就需要去掉4條棱．但顯然不可能都去掉長(zhǎng)度為1的或去掉3條長(zhǎng)度為1厘米的．

故去掉DD₁，AA₁，BC，B₁C₁，后，可沿ABB₁A₁D₁C₁CDA走．共長(zhǎng)3+1+3+2+3+1+3+2=18（厘米）
最短路徑，假設(shè)從點(diǎn)C₁出發(fā)，到點(diǎn)C，再到點(diǎn)B，再到點(diǎn)B₁，然后回到點(diǎn)C₁，路徑最短為：
1+2+1+2=6（厘米）．
故答案為：18，6．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)畫(huà)圖來(lái)解決比較直觀．