Question

八個學生8道問題．
（a）若每道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個學生，每道題至少被這兩個學生中的一個解出．
（b）如果每道題只有4個學生解出，那么（a）的結(jié)論一般不成立．試構(gòu)造一個例子說明這點．

Answer 1

分析：（a）設(shè)解題最多的人解出d道題．將解出的題數(shù)相加，八個人至多解出8d道，另一方面，每題至少被5個人解出，八個人至少解出8×5道題．所以8d≥8×5，可得d≥5，又因為d≤8，據(jù)此分析即可解答；
（b）列一個8×8的表格，當其中一人答對4題時，對于剩下的4題，其他7人不能保證有人一全部答對，據(jù)此即可說明問題．

解答：解：（a）設(shè)解題最多的人解出d道題．將解出的題數(shù)相加，八個人至多解出8d道，
另一方面，每題至少被5個人解出，八個人至少解出8×5道題．
所以8d≥8×5，則d≥5
 d=8時，結(jié)論成立，
d=7時，必有人解出剩下的一道題，這兩人為所求，
d=6時，剩下的兩道題，各有5人解出，5+5＞7．所以至少有一人同時解出這兩道題，他與解題最多的人為所求，
d=5時．另三道題每道各有5人解出，設(shè)這三道題是6，7，8，解出6的人數(shù)與解出7的人數(shù)之和為10，而除解題最多的人外只有7人，所以，有三人同時解出6，7二題，又解出8的人數(shù)為5，3+5=8＞7，所以必有一人同時解出6，7，8這三道題，他與解題最多的人為所求．

（b）如下表所示：

由上述推算可得：當其中一人答對4題時，對于剩下的4題，其他7人不能保證有人一全部答對，所以此時（a）不成立．

點評：此題考查了抽屜原理在實際問題中的靈活應用，難度較大，需要認真分析解答．