Question

一個正整數，它分別加上75和48以后都不是120的倍數，但這兩個和的乘積卻能被120整除．這個正整數最小是多少？

Answer 1

考點：最大與最小

專題：整除性問題

分析：設這個數是a，已知條件說明：（1）a+75不是120的倍數（2）a+48不是120的倍數（3）（a+75）×（a+48）是120的倍數，因為120=2×2×2×3×5
a+75和a+48的奇偶性不同，所以只有四種可能：
（1）a+75是24的倍數且不是5的倍數，a+48是5的倍數且不是24的倍數．
（2）a+75是5的倍數且不是24的倍數，a+48是24的倍數且不是5的倍數
（3）a+75是40的倍數且不是3的倍數，a+48是3的倍數且不是40的倍數．這樣的a不存在．
（4）a+75是3的倍數且不是40的倍數，a+48是40的倍數且不是3的倍數．這樣的a不存在．
然后分情況進行討論．

解答： 解：設這個數是a，已知條件說明：
（1）a+75不是120的倍數
（2）a+48不是120的倍數
（3）（a+75）×（a+48）是120的倍數
因為120=2×2×2×3×5
a+75和a+48的奇偶性不同，所以只有四種可能：
（1）a+75是24的倍數且不是5的倍數，a+48是5的倍數且不是24的倍數．
（2）a+75是5的倍數且不是24的倍數，a+48是24的倍數且不是5的倍數
（3）a+75是40的倍數且不是3的倍數，a+48是3的倍數且不是40的倍數．這樣的a不存在．
（4）a+75是3的倍數且不是40的倍數，a+48是40的倍數且不是3的倍數．這樣的a不存在．
分情況討論
對于第（1）種情況
說明a除以24余21，且a除以5余2
此時a最小為117．
對于第（2）種情況
說明a除以5余0，且a除以24余0．也就是a是5和24的公倍數．
此時a最小為120．
所以，a最小為117．

點評：本題主要考查了奇偶性和分解質因數的方法來進行解答．