Question

有一個(gè)圓，第一次用一條直徑將圓周分成兩個(gè)半圓周，在每個(gè)分點(diǎn)上標(biāo)上1；第二次，再將兩個(gè)半圓周分別分成兩個(gè)

1

4

圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)上標(biāo)上相鄰兩數(shù)之和的

1

2

；第三次，再將四個(gè)

1

4

圓周分別分成兩個(gè)

1

8

圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)上標(biāo)上相鄰兩數(shù)之和的

1

3

；第四次，再將八個(gè)

1

8

圓周分別分成兩個(gè)

1

16

圓周，在新產(chǎn)生的分點(diǎn)上標(biāo)上相鄰兩數(shù)之和的

1

4

…如此進(jìn)行了100次．請(qǐng)問(wèn)：最后圓周上的所有數(shù)之和是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈

專題：數(shù)字串問(wèn)題

分析：本題不必想得太復(fù)雜，即第n次分圓后增加了第（n-1）次分圓后所有數(shù)字之和的

n

2

（因?yàn)槭窍噜弮蓴?shù)之和，所以每個(gè)數(shù)計(jì)算了2次），設(shè)第n次后數(shù)字的總和為X（n），第（n-1）次的總和為X（n-1），可得如下的遞推關(guān)系式：
X（n）=X（n-1）+

2X×(n-1)

n

，
X（n）=X（n-1）×

n+2

n

，
其中X（1）=2，寫出各項(xiàng)連乘代入X（n）有：
X（n）=

n+2

n

×

n+1

n-1

×…×

4

2

×2
約分為：X（n）=1×

(n+2)×(n+1)

3

然后代入求和即可．

解答： 解：由以上分析，可得：
X（n）=1×

(n+2)×(n+1)

3

=

(100+2)×(100+1)

3

=

102×101

3

=3434
答：最后圓周上的所有數(shù)之和是3434．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分析總結(jié)歸納能力，關(guān)鍵在于求出通項(xiàng)公式，代入計(jì)算．