Question

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD的四條邊AB、BC、CD、DA上分別取P、Q、R、S四點(diǎn)，設(shè)PR和QS的交點(diǎn)為O．當(dāng)三角形PQO的面積和三角形RSO的面積都等于30cm²時(shí)，請(qǐng)求出長(zhǎng)方形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：長(zhǎng)方形、正方形的面積,三角形的周長(zhǎng)和面積

專(zhuān)題：平面圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：觀(guān)察圖形可知：設(shè)AP=x，BQ=y，分別用梯形的面積公式表示出同學(xué)ABQS和梯形APRD的面積，進(jìn)而推論得出這兩個(gè)梯形的面積之差就等于三角形PBQ和三角形SRD的面積之差，進(jìn)而利用等量代換的方法求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的值，再據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可求解．

解答： 解：設(shè)AP=x，BQ=y，
則 梯形ABQS面積=（8+y）（10+x）÷2=（80+10y+8x+xy）÷2①；
梯形APRD面積=（8+x）（12+y）÷2=（96+8y+12x+xy）÷2②；
因?yàn)樘菪蜛BQS面積-梯形APRD面積
=面積PBQO-面積SORD
=面積PBQ-面積SRD （因?yàn)槊娣ePOQ=面積SOR）
=（10y÷2）-8（12+y-8）÷2
=5y-16-4y
=y-16；
又因①-②=[-16+2y-4x]÷2
=y-2x-8
所以y-16=y-2x-8
得：x=4
所以RC=10+4-8=6
進(jìn)而求出BQ=5
所以長(zhǎng)方形ABCD的面積為：
（5+12）×（8+6）
=17×14
=238（平方厘米）．
答：長(zhǎng)方形ABCD的面積是238平方厘米．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道超難的奧數(shù)題，需要依據(jù)面積的轉(zhuǎn)換，多方面思考，求出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的值，再據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式求解．