Question

（1）求2的2008次方除以3的余數(shù)？
（2）求1999的1999次方除以3的余數(shù)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：乘方

專題：文字?jǐn)⑹鲱}

分析：（1）此題應(yīng)利用從一般到特殊的數(shù)學(xué)方法找出規(guī)律解決問題．從2的1次方開始，除以3的余數(shù)為2；2的2次方除以3的余數(shù)為1；2的3次方除以3的余數(shù)為2；2的4次方除以3的余數(shù)為1；2的5次方除以3的余數(shù)為2；…；可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，2的奇數(shù)次方除以3的余數(shù)為2；當(dāng)指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，2的偶數(shù)次方除以3的余數(shù)為1；從而可以判斷2的2008次方除以3的余數(shù)；
（2）本題也要尋找規(guī)律，把1999化為1998+1，由1998能被3整除，經(jīng)過推理證明：1999的任何次方除以3的余數(shù)都與1999除以3的余數(shù)相同，從而判斷結(jié)果是多少．

解答： 解：（1）因?yàn)?的1次方除以3的余數(shù)為2；
2的2次方除以3的余數(shù)為1；
2的3次方除以3的余數(shù)為2；
2的4次方除以3的余數(shù)為1；
2的5次方除以3的余數(shù)為2；
…；
可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，2的奇數(shù)次方除以3的余數(shù)為2；當(dāng)指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，2的偶數(shù)次方除以3的余數(shù)為1；
由此可以判斷2的2008次方除以3的余數(shù)為1；

（2）1999¹⁹⁹⁹=1999¹⁹⁹⁸×1999
=1999¹⁹⁹⁸×（1998+1）
=1999¹⁹⁹⁸×1998+1999¹⁹⁹⁸
因?yàn)?999¹⁹⁹⁸×1998中含有因數(shù)1998，1998能被3整除，所以1999¹⁹⁹⁸×1998能被3整除，因而1999¹⁹⁹⁹除以3的余數(shù)和1999¹⁹⁹⁸除以3的余數(shù)相同；
繼續(xù)推理，1999¹⁹⁹⁸除以3的余數(shù)又和1999¹⁹⁹⁷除以3的余數(shù)相同；
…；
最后發(fā)現(xiàn)：1999¹⁹⁹⁹除以3的余數(shù)和1999的1次方即1999除以3的余數(shù)相同，
而1999÷3的余數(shù)為1，
所以1999的1999次方除以3的余數(shù)是1．

點(diǎn)評：此題主要考查了同余問題的性質(zhì)，從一般到特殊找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．