Question

已知a與b是兩個正整數，且a＞b．請問：
（1）如果它們的最小公倍數是36，那么這兩個正整數有多少種情況？
（2）如果它們的最小公倍數是120，那么這兩個正整數有多少種情況？

Answer 1

考點：公約數與公倍數問題

專題：整除性問題

分析：（1）首先找出36的所有的因數，然后分類討論，求出這兩個正整數有多少種情況即可；
（2）首先找出120的所有的因數，然后分類討論，求出這兩個正整數有多少種情況即可．

解答： 解：（1）36的因數有1、2、3、4、6、9、12、18、36，
因為a、b的最小公倍數是36，且a＞b，可得
當a=36時，b=1、2、3、4、6、9、12、18，一共8種情況；
當a=18時，b=4、12，一共2種情況；
當a=12時，b=9，有1種情況；
當a=9時，b=4，有1種情況；
8+2+1+1=12（種），
所以這兩個正整數有12種情況．
答：這兩個正整數有12種情況．

（2）120的因數有1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120，
因為a、b的最小公倍數是120，且a＞b，可得
當a=120時，b=1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60，一共15種情況；
當a=60時，b=8、24、40，一共3種情況；
當a=40時，b=3、6、12、15、24、30，一共6種情況；
當a=30時，b=4、8、24，一共3種情況；
當a=24時，b=5、10、15、20，一共4種情況；
當a=15時，b=8，有1種情況；
15+3+6+3+4+1=32（種），
所以這兩個正整數有32種情況．
答：這兩個正整數有32種情況．

點評：此題主要考查了公倍數問題的應用，解答此題的關鍵是首先求出36、120的所有的因數，注意別漏數．