Question

20．已知$\frac{1}{1}$、$\frac{3}{1}$、$\frac{11}{4}$、$\frac{2}{1}$、$\frac{21}{16}$、$\frac{13}{16}$、$\frac{31}{64}$、$\frac{9}{32}$、…是一串規(guī)律的最簡分數(shù)，那么橫線中應(yīng)填的分數(shù)是$\frac{21}{16}$．

Answer 1

分析 $\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2°}$、$\frac{3}{1}$=$\frac{6}{2}$=$\frac{6}{{2}^{1}}$、$\frac{11}{4}$=$\frac{11}{{2}^{2}}$、$\frac{2}{1}$=$\frac{16}{8}$=$\frac{16}{{2}^{3}}$、（　　）、$\frac{13}{16}$=$\frac{26}{32}$=$\frac{26}{{2}^{5}}$、$\frac{31}{64}$=$\frac{31}{{2}^{6}}$、$\frac{9}{32}$=$\frac{36}{128}$=$\frac{35}{{2}^{7}}$…根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，把$\frac{3}{1}$的分子、分母都乘2、$\frac{3}{1}$的分子、分母都乘2、$\frac{2}{1}$的分子、分母都乘8、$\frac{9}{32}$的分子、分母都乘4…我們會發(fā)現(xiàn)：這一數(shù)列的分子是等差數(shù)列，公差是5，由左到右依次遞增；分母由左到右分別是2⁰、2¹、2³…由此即可求出所缺分數(shù)是$\frac{21}{{2}^{4}}$，即$\frac{21}{16}$．

解答 解：$\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2°}$、$\frac{3}{1}$=$\frac{6}{2}$=$\frac{6}{{2}^{1}}$、$\frac{11}{4}$=$\frac{11}{{2}^{2}}$、$\frac{2}{1}$=$\frac{16}{8}$=$\frac{16}{{2}^{3}}$、$\frac{21}{16}$=$\frac{21}{{2}^{4}}$、$\frac{13}{16}$、$\frac{31}{64}$、$\frac{9}{32}$、…那么橫線中應(yīng)填的分數(shù)是 $\frac{21}{16}$．
故答案為：$\frac{21}{16}$，$\frac{21}{16}$．

點評 尋找這一組分數(shù)的規(guī)律的難點在于都是給出的最簡分數(shù)，不容易看出規(guī)律，需要根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)把某些分數(shù)的分子、分母都乘一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，才能與其他分數(shù)成為有規(guī)律的數(shù)列．