考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出曲線y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=x+1，即可求a，b的值；
（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則f′（x）≤0在（0，2）內(nèi)恒成立．即可求a的取值集合A； 
（2）（i）當(dāng)-7≤a≤-6時(shí)，f（x）在[0，4]上單調(diào)遞減，函數(shù)的最小值＞a²在a∈[-7，-6]上恒成立，求出b的范圍；
（ii）當(dāng)-6＜a≤-3時(shí)，f（x）在[0，-

2a

3

]上單調(diào)遞減，[-

2a

3

，4]上單調(diào)遞增．有f（x）的最小值＞a²恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax，
∴

f/(1)=1 f(1)=2

，即

3+2a=1 1+a+b=2

∴

a=-1 b=2

-----------（4分）
（Ⅱ）（1）要使f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則f′（x）≤0在（0，2）內(nèi)恒成立．
∴3x²+2ax≤0即a≤-

3

2

x在（0，2）上恒成立．
∴a≤-3即A=（-∞，-3]------------------------（7分）
（2）∵a∈A∩[-7，+∞）=[-7，-3]
（i）當(dāng)-7≤a≤-6時(shí)，f（x）在[0，4]上單調(diào)遞減，
∴fmin(x)=f(4)=64+16a+b＞a2在a∈[-7，-6]上恒成立，
∴b＞a²-16a-64在a∈[-7，-6]上恒成立∴b＞97------------（10分）
（ii）當(dāng)-6＜a≤-3時(shí)，f（x）在[0，-

2a

3

]上單調(diào)遞減，[-

2a

3

，4]上單調(diào)遞增．
∴fmin(x)=f(-

2a

3

)＞a2在a∈（-6，-3]上恒成立．
即b＞-

4a3

27

+a2在a∈（-6，-3]上恒成立
記g(a)=-

4a3

27

+a2a∈（-6，-3]
則g/(a)=-

4a2

9

+2a∈(-28，-10]
即g（a）在a∈（-6，-3]上單調(diào)遞減．
∴g（a）＞g（-6）=68，∴b＞68-----------------------------------（14分）
綜上所述，b＞97-------------------------------------------------------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分類討論等綜合解題能力．