【題目】已知:Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=3,CB=4,設(shè)P,Q分別為AB邊,CB邊上的動(dòng)點(diǎn),它們同時(shí)分別從A,C出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),設(shè)P,Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求△CPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.
(2)t為何值時(shí),△CPQ為直角三角形.
(3)①探索:△CPQ是否可能為正三角形,說明理由.
②P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不變,試改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度,使△CPQ為正三角形,求出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和此時(shí)的t值.
【答案】
(1)
解:作PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,
∵∠ACB=90°,CA=3,CB=4,
∴AB= =5,
∵AP=t,
∴AD= t,PD= t,
∴PE=DC=3﹣ t,
∴S= ×t×(3﹣ t)=﹣ t2+ t,
∵S=﹣ t2+ t=﹣ (t﹣ )2+ ,
∴S的最大值為 ;
(2)
解:只有當(dāng)PC2+PQ2=CQ2時(shí),△CPQ為直角三角形,
∴( t)2+(3﹣ t)2+(3﹣ t)2+(t﹣ t)2=t2,
解得,t1=3,t2=15(舍去),
∴當(dāng)t=3時(shí),△CPQ為直角三角形;
(3)
①△CPQ不可能為正三角形,
理由如下:若△CPQ是正三角形,
則PC=PQ,EC=EQ,即t﹣ t= t,
解得,t=0,
∴△CPQ不可能為正三角形;
②設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a,
當(dāng)CE=EQ時(shí),即 t=at﹣ t,
解得,a= ,
∵∠PCQ=60°,
∴PE= PD,
解得,t= .
【解析】(1)作PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,根據(jù)勾股定理求出AB,用t表示出AD、PD,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可;(2)根據(jù)勾股定理列出算式,求出t的值;(3)①根據(jù)等邊三角形的三線合一列式計(jì)算即可;②設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列式求出a,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、正切的概念計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念,掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸,物體甲和物體乙分別由點(diǎn)A(2,0)同時(shí)出發(fā),沿矩形BCDE的邊作環(huán)繞運(yùn)動(dòng),物體甲按逆時(shí)針方向以1個(gè)單位/秒勻速運(yùn)動(dòng),物體乙按順時(shí)針方向以2個(gè)單位/秒勻速運(yùn)動(dòng),則兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)后的第2016次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點(diǎn)F,DH⊥BC于H,交BE于G,下列結(jié)論中正確的是( )
①△BCD為等腰三角形;②BF=AC;③CE=BF;④BH=CE.
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí),老師布置了一道作業(yè)題:
“如圖①,已知,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ,使∠QAP=∠BAC,連接BQ,CP,則BQ=CP.”
小亮是個(gè)愛動(dòng)腦筋的同學(xué),他通過對(duì)圖①的分析,證明了△ABQ≌△ACP,從而證得BQ=CP之后,他將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC外,原題中其他條件不變,發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立,請(qǐng)你就圖②給出證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有20箱橘子,以每箱25千克為標(biāo)準(zhǔn),超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示,記錄如下:
與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值 (單位:千克) | 3 | 2 | 1.5 | 0 | 1 | 2.5 |
箱數(shù) | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 8 |
(1)20箱橘子中,最重的一箱比最輕的一箱多重多少千克?
(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較,20箱橘子總計(jì)超過或不足多少千克?
(3)若橘子每千克售價(jià)2.5元,則出售這20箱橘子可賣多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=2,BC邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)P1,P2,……,P10, 記(i = 1,2,……,10),那么 M1+M2+……+M10的值為( )
A. 4 B. 14 C. 40 D. 不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,AB=15,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC→CB→BA邊運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在AC、CB、BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒3、4、5個(gè)單位,直線l從與AC重合的位置開始,以每秒 個(gè)單位的速度沿CB方向移動(dòng),移動(dòng)過程中保持l∥AC,且分別與CB,AB邊交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),點(diǎn)P與直線l同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P和直線l同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)當(dāng)t=秒時(shí),△PCE是等腰直角三角形;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),將△PEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1落在EF上,點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F1 , 當(dāng)EF1⊥AB時(shí),求t的值;
(3)作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q,在運(yùn)動(dòng)過程中,若形成的四邊形PEQF為菱形,求t的值;
(4)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)△PEF的面積為S,請(qǐng)直接寫出S的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如圖1,點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).
請(qǐng)解決下列問題:
(1)已知點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求BN的長(zhǎng);
(2)如圖2,若點(diǎn)F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)D,E是線段BC的勾股分割點(diǎn),且EC>DE>BD,求證:點(diǎn)M,N是線段FG的勾股分割點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,D為BC邊上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)D分別作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,則DE+DF=______.
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